Fragmento dos Elementos de Euclides

Fragmento dos Elementos de Euclides


Fragmento dos Elementos de Euclides - História

Elementos de Euclides - Uma história de 2.500 anos
Bob Gardner
East Tennessee State University
Departamento de Matemática e Estatística
Johnson City, TN 37614

Outras traduções de Os elementos


Manuscrito Bodleiano (888 CE)
Imagem de: http://www.claymath.org/euclid/ O manuscrito Bodleian data de 888 CE. Este manuscrito contém os livros I a XV do Elementos com muitos "scholia" ou comentários explicativos.

O site do Clay Mathematics Institute declara esta edição "o manuscrito 'completo' mais antigo de Euclides Elementos e, de acordo com o catálogo da exposição da Biblioteca Bodleian, é o manuscrito mais antigo de um autor grego clássico a ter uma data. "Ele" foi preservado na Biblioteca Bodleian, Oxford, Inglaterra desde 1804, foi escrito em pergaminho em Constantinopla. " Uma cópia digital completa está disponível online no site da Clay Mathematics (http://www.claymath.org/euclid/).


Manuscrito do Vaticano número 190 (século 10)
Imagem de: http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math.html Manuscrito do Vaticano número 190. Data do século X. e contém os Livros I a XII de Elementos com scholia, então o comentário de Marinus sobre o Dados com scholia. Em seguida, os chamados "Livros XIV e XV" do Elementos são apresentados, seguidos por três livros e parte de um quarto de um comentário de Theon. Embora os comentários de Theon sejam anexados, a pesquisa revela que o texto principal é mais antigo do que outras versões disponíveis que mostram uma influência da modificação por Theon [Heath, página 46].

  • O Manuscrito XXXVIII, 3 da Biblioteca Laurentian em Florença, Itália, que data do século 10, inclui os Livros I-XV, Óptica, e Phaenomena.
  • Os manuscritos 18 e 19 da Biblioteca Comunal de Bolonha, Itália, do século 11 incluem os Livros I-XIII e Dados.
  • O Manuscrito de Viena do século 12, que inclui os Livros I-XV, Óptica, e Phaenomena.
  • Dois Manuscritos de Paris do século XII.


O papiro Oxyrhynchus
Imagem de: http://scientists.penyet.net/euclid-the-father-of-geometry.html Existem alguns fragmentos antigos de papiro que contêm partes de Os elementos. Um dos mais antigos é chamado de Papiro Oxyrhynchus e data de cerca de 100 EC. Aqui, vemos um diagrama do Livro II, Proposição 5.


O primeiro impresso Elementos
Imagem de: http://www.historyofscience.com/G2I/timeline/index.php?category=Mathematics+%2F+Logic A primeira versão impressa de Os elementos apareceu em 1482 em Veneza. O texto foi baseado em uma tradução do árabe para o latim, presumivelmente feita por Abelardo de Bath no século 12, editada e comentada por Giovanni Compano. Incluiu mais de 400 figuras.


Conteúdo

Euclides foi um matemático grego que escreveu Elementos em Alexandria durante o período helenístico (cerca de 300 aC). Os estudiosos acreditam que o Elementos é em grande parte uma coleção de teoremas provados por outros matemáticos, além de conter alguns trabalhos originais. Proclus, um matemático grego que viveu vários séculos depois de Euclides, escreve em seu comentário sobre o Elementos: "Euclides, que reuniu os Elementos, coletando muitos dos teoremas de Eudoxo, aperfeiçoando muitos dos de Teeteto, e também trazendo à demonstração irrefutável as coisas que foram apenas um tanto vagamente provadas por seus predecessores".

Uma versão de um aluno de Euclides chamado Proclo foi traduzida mais tarde para o árabe, após ter sido obtida pelos árabes de Bizâncio e dessas traduções secundárias para o latim. A primeira edição impressa apareceu em 1482 (baseada na edição de 1260 de Giovanni Campano) e, desde então, foi traduzida para vários idiomas e publicada em cerca de mil edições diferentes. Em 1570, John Dee forneceu um "Prefácio Matemático" amplamente respeitado, junto com copiosas notas e material suplementar, para a primeira edição em inglês de Henry Billingsley.

Também existem cópias do texto grego, por ex. na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleian em Oxford. No entanto, os manuscritos disponíveis são de qualidade muito variável e invariavelmente incompletos. Mediante análise cuidadosa das traduções e originais, foram traçadas hipóteses sobre o conteúdo do texto original (cujas cópias não estão mais disponíveis).

Textos antigos que se referem ao Elementos ela mesma e outras teorias matemáticas que eram atuais na época em que foi escrita também são importantes neste processo. Essas análises são conduzidas por J. L. Heiberg e Sir Thomas Little Heath em suas edições do texto.

Também são importantes as scholia, ou anotações do texto. Esses acréscimos, que muitas vezes se distinguiam do texto principal (dependendo do manuscrito), gradualmente se acumularam com o tempo, à medida que as opiniões variavam sobre o que era digno de explicação ou elucidação. Alguns deles são úteis e acrescentam ao texto, mas muitos não são.


Fragmento dos Elementos de Euclides - História

Euclides é conhecido por quase todos os alunos do ensino médio como o autor de Os Elementos, o longo texto estudado sobre geometria e teoria dos números. Nenhum outro livro, exceto a Bíblia, foi tão amplamente traduzido e distribuído. Desde o momento em que foi escrito, foi considerado um trabalho extraordinário e foi estudado por todos os matemáticos, até mesmo o maior matemático da antiguidade - Arquimedes, e assim tem sido ao longo dos 23 séculos que se seguiram. É sem dúvida o melhor texto de matemática já escrito e provavelmente permanecerá assim em um futuro distante.

Esta é uma miniatura do manuscrito dos agrimensores romanos encontrados em Wolfenb & # 252ttel, século 6 DC

Pouco se sabe sobre Euclides, fl. 300BC, autor de The Elements. Ele ensinou e escreveu no Museu e Biblioteca de Alexandria, fundado por Ptolomeu I.

Quase tudo sobre ele vem do Comentário de Proclo, 4º cent DC. Ele escreve que Euclides coletou os teoremas de Eudoxo, aperfeiçoou muitos de Teeteto e completou trabalhos fragmentários deixados por outros.

Diz-se que Euclides disse ao primeiro Ptolomeu que perguntou se havia uma maneira mais curta de aprender geometria do que os Elementos:

Os elementos - fatos básicos

  • escrito cerca de 2300 anos atrás,
  • nenhuma cópia existente,
  • alguns fragmentos de cerâmica datados de 225 aC contêm notas sobre algumas proposições,
  • Muitas novas edições foram lançadas (por exemplo, Theon de Alexandria, cent. DC)
  • A cópia mais antiga data de 888AD - em Oxford
  • Estilo: sem exemplos, sem motivações, sem cálculos, sem comentários espirituosos, sem introdução, sem preâmbulo --- nada além de teoremas e suas provas.
  1. Os elementos
  2. Dados - um volume que acompanha os primeiros seis livros dos Elementos escritos para iniciantes. Inclui métodos geométricos para a solução de quadráticas.
  3. Divisão de Figuras - uma coleção de trinta e seis proposições relativas à divisão de configurações planas. Ele sobreviveu apenas por traduções árabes.
  4. Phaenomena - na geometria esférica, é semelhante ao trabalho de Autolycus
  5. Óptica - um dos primeiros trabalhos sobre perspectiva, incluindo óptica, catóptrica e dióptrica.

  1. Porismos - possivelmente uma versão antiga da geometria analítica.
  2. Loci de superfície -?
  3. Pseudaria -?

Os Elementos - Estrutura: Treze Livros

  • Livros I-VI - Geometria plana
  • Livros VII-IX - Teoria dos Números
  • Livro X - Incomensuráveis
  • Livro XI-XIII - Geometria Sólida

Os Elementos - Livro Típico

  • Definições
  • Axiomas - óbvio para todos
  • Postulados - específicos para o assunto em questão
  • Teoremas
  • Postulados - 5
    1. Para desenhar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
    2. Para produzir uma linha reta finita continuamente em uma linha reta.
    3. Para descrever um círculo com qualquer centro e distância.
    4. Que todos os ângulos retos são iguais uns aos outros.
    5. Que, se uma linha reta caindo em duas linhas retas torna os ângulos internos do mesmo lado menores do que ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado em que os ângulos são menores do que os ângulos retos.
  • Axiomas - 5
    1. Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras.
    2. Se igual for adicionado a igual, os todos são iguais.
    3. Se igual for subtraído de igual, os restantes são iguais.
    4. Coisas que coincidem umas com as outras são iguais umas às outras.
    5. O todo é maior que a parte.
  • Um silogismo: `` um silogismo no discurso no qual, certas coisas sendo declaradas, algo diferente do que é declarado decorre necessariamente de seu ser. & Quot Exemplo: Se todos os macacos são primatas e todos os primatas são mamíferos, segue-se que todos macacos são mamíferos.
  • modus ponens: Se p, então q. . Portanto, q.
  • modus tolens: Se p, então q. Não q. Portanto, não p.

Para provar isso, construa círculos em A e B de raio AB. Argumente que o ponto de interseção C é equidistante de A e B e, como fica nos círculos, a distância é AB.

Observe que na proposição I-1, Euclides pode apelar apenas para as definições e postulados. Mas ele não usa os silogismos aristotélicos, mas sim o modus ponens. Observe também que há uma suposição sutil da natureza contínua do plano feita na suposição visual de que os círculos se cruzam. Falhas desse tipo permaneceram essencialmente sem solução até os tempos modernos.

Proposição I-4. (SAS) Se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados respectivamente, e os ângulos contidos pelos lados iguais também são iguais, então os dois triângulos são congruentes.

Nota: Em tratamentos modernos de geometria simples, essa proposição é dada como um postulado.

Nota: O termo moderno congruente é usado aqui, substituindo a afirmação de Euclides de que "cada parte de um triângulo é igual à parte correspondente do outro."

Proposição I-5. Nos triângulos isósceles, os ângulos da base são iguais e, se as linhas retas iguais forem produzidas posteriormente, os ângulos sob a base serão iguais entre si.

Prova. Estenda AC para D e AC para E. Marca de distâncias iguais BF e CG em seus respectivos segmentos. Agora argumente que, uma vez que AF e AG são iguais e AC e AB são iguais e os triângulos ACF e ABG compartilham o ângulo incluído em A, eles devem ser congruentes. Isso significa que os lados FC e GB são iguais. Portanto, os triângulos FCB e GCB são (SAS) congruentes. Portanto, os ângulos e são iguais, daí a conclusão segue.

Esta é a prova dada por Euclides. Muitos dos teoremas em Os Elementos têm provas mais simples, encontradas mais tarde. Este não é exceção. A seguinte prova foi dada por Pappus: Observe que os dois triângulos BAC e CAB são congruentes SAS (side-angle-side). Portanto, os ângulos em B e C são iguais.

Proposição I-6. Se em um triângulo dois ângulos são iguais, os lados opostos também são iguais.

  1. B é igual a C. Presumir .
  2. Suponha AB & gt AC. Faça D para que DC = AB.
  3. Agora argumente que os triângulos ABC e DBC são congruentes.
  4. Assim, a parte é igual ao todo.

Proposição I-29. Uma linha reta cruzando duas linhas retas paralelas torna os ângulos alternados iguais um ao outro, o ângulo externo igual ao ângulo interno e oposto e os ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos.

  1. Presumir .
  2. Então, a soma de e é maior do que a soma de e.
  3. Mas a primeira soma é dois ângulos retos. (Prob I-13.)
  4. Assim, a segunda soma é menor do que dois ângulos retos e, portanto, as linhas não são paralelas.

Os Elementos - Livro II - 14 Teoremas

O Livro II é diferente do Livro I porque trata de retângulos e quadrados. Pode ser denominado álgebra geométrica. Há algum debate entre os estudiosos de Euclides sobre se ele foi extraído diretamente da matemática babilônica. Em qualquer caso, é definitivamente mais difícil ler o material do Livro I.

Definição. Diz-se que qualquer retângulo está contido pelas duas linhas retas que formam o ângulo reto.

Euclides nunca multiplica o comprimento e a largura para obter a área. Não existe tal processo. Ele multiplica os números (inteiros) pelo comprimento.

II-1. Se houver duas linhas retas e uma delas for cortada em qualquer número de segmentos, o retângulo contido pelas duas linhas retas é igual à soma dos retângulos contidos pela linha reta não cortada e cada um dos segmentos.

Deve ficar claro que esta é a lei distributiva da multiplicação por adição. No entanto, é expresso puramente em termos de geometria.

1. Sejam A e BC as duas linhas. Faça os cortes aleatórios em D e E.

2. Deixe BF ser desenhado perpendicularmente a BC e cortado em G de modo que BG seja igual a A. Complete o diagrama conforme mostrado.

3. Então BH é igual a BK, DL, EH

4. Agora argumente que o todo é a soma das partes.

II-2. Se uma linha reta for cortada aleatoriamente, o retângulo contido pelo todo e ambos os segmentos é igual ao quadrado no todo.

II-4. Se uma linha reta for cortada aleatoriamente, o quadrado como um todo é igual aos quadrados dos segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos.

Observe a simplicidade de visualização e compreensão do teorema binomial para n = 2.

Muitas proposições fornecem soluções geométricas para equações quadráticas.

II-5. Se uma linha reta é cortada em segmentos iguais e desiguais, o retângulo contido pelos segmentos desiguais do todo junto com o quadrado da linha reta entre os pontos da seção é igual ao quadrado da metade.

Esta proposição se traduz na equação quadrática

II-14. Para construir um quadrado igual a uma dada figura retilínea.

2. Construa no ponto médio de AB e produza a linha EG de comprimento (a + c) / 2.

3. Portanto, o comprimento do segmento FG é (a - c) / 2.

4. Estenda a linha CD para P e construa a linha GH de comprimento (a + c) / 2 (H está nesta linha.).

5. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da linha FH tem o quadrado dado por

Os Elementos - Livro III - 37 teoremas

O Livro III diz respeito aos círculos, começa com 11 definições sobre os círculos. Por exemplo, é dada a definição da igualdade dos círculos (= se eles têm o mesmo diâmetro). A tangência é interessante porque depende consideravelmente da intuição visual:

Definição 2. Diz-se que uma linha reta toca um círculo que, encontrando o círculo e sendo produzida, não o corta.

Deninição 3. Um segmento de um círculo é a figura contida por uma linha reta e uma circunferência de um círculo.

Outros conceitos são segmentos, ângulos de segmentos e semelhança de segmentos de círculos são fornecidos.

Euclides começa com o básico:

III-1. Para encontrar o centro de um determinado círculo.

III-2. Se na circunferência de um círculo dois pontos forem escolhidos ao acaso, a linha reta que une os pontos ficará dentro do círculo.

III-5. Se dois círculos se cortarem (tocarem) um no outro, eles não terão o mesmo centro.

O problema inverso: III-9. Se um ponto for tomado dentro de um círculo, e mais de duas linhas retas iguais caírem do ponto no círculo, o ponto tomado é o centro do círculo.

III-11. Se dois círculos se tocam internamente, e seus centros são tomados, a linha reta que une seus centros, se também for produzida, cairá sobre o ponto de contato.

III-16. A linha reta desenhada em ângulos retos com o diâmetro de um círculo de sua extremidade cairá fora do círculo, e no espaço entre a linha reta e a circunferência outra linha reta não pode ser interposta. .

III-31. (Teorema de Tales) Em um círculo, o ângulo no semicírculo está certo e, além disso,. .

Os Elementos - Livro IV - 16 teoremas

A construção de polígonos regulares era uma preocupação dos gregos. Triângulos e quadrados claramente equiláteros podem ser construídos, isto é, inscritos em um círculo. A bissecção permite qualquer número de duplicações, por ex. hexágonos e octogonos. O pentágono inscrito é uma construção mais desafiadora. Este livro é dedicado a circunscrever e inscrever polígonos regulares e irregulares em círculos.

IV-5. Sobre um determinado triângulo para circunscrever um círculo.

IV-10. Para construir um triângulo isósceles tendo cada um dos ângulos na base o dobro do restante.

IV-10 é a chave para provar o célebre

IV-11. Em um determinado círculo para inscrever um pentágono equilátero e equiangular.

Os Elementos - Livro IV - atualização

A próxima figura regular a ser inscrita em um círculo foi o 17-gon. E isso foi realizado por nada menos que um matemático que Carl Frederich Gauss em 1796, quando ele tinha apenas 18 anos.

Na verdade, quando era estudante na G & # 246ttingen, ele começou a trabalhar em sua importante publicação Disquisitiones Arithmeticae, um dos grandes clássicos da literatura matemática. Perto do final deste trabalho, ele incluiu este resultado sobre o 17-gon, mas mais.

Ele provou que os ÚNICOS polígonos regulares que podem ser inscritos em um círculo têm

lados, onde m é um inteiro e os p são primos de Fermat.

Lembre-se de que os primos de Fermat são primos da forma

Temos a seguinte tabela de polígonos que podem ser inscritos em um círculo:

Todos esses números são primos? Não, Euler prova que o próximo é composto. Nenhum outro é conhecido. Um contemporâneo de Gauss, Fernidand Eisenstein (1823-1852) conjecturou que o seguinte subconjunto dos números de Fermat consiste apenas em primos:

mas isso não foi verificado. Os três primeiros são os primos de Fermat, 5, 17, 65.537. O próximo número tem mais de 45.000 dígitos.

Os Elementos - Livro V - 25 teoremas

O Livro V trata de proporção e proporção. Euclides começa com 18 definições sobre magnitudes começando com uma parte, múltiplo, proporção, estar na mesma proporção e muitas outras. Considere a definição 5 nas mesmas proporções.

Definição 1. Uma magnitude é uma parte de uma magnitude, quanto menor o maior, quando mede o maior.

Isso significa que ele divide o maior sem nenhum resto.

Definição 4. Diz-se que as magnitudes têm uma relação umas com as outras que são capazes, quando multiplicadas, de exceder em outra.

Este é essencialmente o Axioma Arquimediano: se a & lt b, então há um inteiro n tal que na & gt b.

Na teoria moderna de espaços parcialmente ordenados, um papel especial é desempenhado por aqueles espaços que possuem a chamada Propriedade Arquimediana.

Definição 5. Diz-se que as magnitudes estão na mesma proporção, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta, quando, se quaisquer equimúltiplos forem tomados da primeira e terceira, e quaisquer equimúltiplos quaisquer da segunda e quarta, a Os primeiros equimúltiplos excedem, são igualmente iguais ou ficam aquém dos últimos equimúltiplos respectivamente tomados na ordem correspondente.

Na notação moderna, dizemos que as magnitudes, a, b, c, d estão na mesma proporção a: b = c: d se

V-1. Se houver qualquer número de magnitudes que sejam, respectivamente, equimúltiplos de quaisquer magnitudes iguais em multidão, então, qualquer múltiplo que uma das magnitudes for de um, esse múltiplo também será de todos.

Na notação moderna, deixe as magnitudes ser e deixe m ser o múltiplo. Então,

V-8. De magnitudes desiguais, o maior tem para o mesmo uma proporção maior do que o menor e o mesmo tem para o menor uma proporção maior do que para o maior.

Em termos modernos, seja a & gt b, ec é dado. Então

Os Elementos - Livro VI - 33 teoremas

O Livro VI é sobre semelhança de figuras. Começa com três definições.

Definição 1. Figuras retilíneas semelhantes são aquelas que têm seus ângulos separadamente iguais e os lados sobre os ângulos iguais proporcionais.

Definição 3. A altura de qualquer figura é a perpendicular traçada do vértice à base.

VI-1. Os triângulos e paralelogramos que têm a mesma altura são uns para os outros que as suas bases.

VI-5. Se dois triângulos têm seus lados proporcionais, os triângulos serão equiangulares e terão os ângulos iguais que os lados correspondentes subtendem.

VI-30. Para cortar uma dada linha reta finita na razão extrema e média.

Claro, você deve provar toda a semelhança rigorosamente.

Os Elementos - Livro VII - 39 teoremas

O Livro VII é o primeiro de três livros sobre teoria dos números. Euclides começa com definições de unidade, número, partes de, múltiplo de, número ímpar, número par, números primos e compostos, etc.

Definição 11. Um número primo é aquele que é medido apenas pela unidade.

Definição 12. Os números primos entre si são aqueles que são medidos apenas pela unidade como uma medida comum.

VII-21. Os números primos entre si são os menores dos que têm a mesma proporção com eles.

VII-23. Se dois números forem primos um do outro, o número que mede um deles será primo do número restante.

VII-26. Se dois números forem primos para dois números, ambos para cada um, seus produtos também serão primos um para o outro.

VII-31. Qualquer número composto é medido por algum número primo.

VII-32. Qualquer número é primo ou é medido por algum número primo.

Os Elementos - Livro VIII - 27 teoremas

O Livro VIII enfoca o que agora chamamos de progressões geométricas, mas eram chamadas de proporções contínuas pelos antigos. Muito disso, sem dúvida, se deve a Arquitas de Tarento, um pitagórico. Os números estão em proporção contínua se

o que é obviamente a mesma coisa.

VII-1. Se houver tantos números quantos quisermos em proporção contínua, e os extremos deles forem primos entre si, os números são os menores daqueles que têm a mesma proporção com eles.

Considere 5: 3 e 8: 6 e 10: 6 e 16:12.

Os Elementos - Livro VIII - 27 teoremas

VIII-8. Se entre dois números há números em proporção contínua com eles, então, entretanto, quaisquer números estão entre eles em proporção contínua, muitos também estarão em proporção contínua entre números que estão na mesma proporção que os números originais.

Euclides se preocupa em várias outras proposições do Livro VIII em determinar as condições para inserir números proporcionais médios entre dados números de vários tipos. Por exemplo,

VIII-20. Se um número proporcional médio cair entre dois números, os números serão números planos semelhantes.

Na linguagem moderna, suponha a: x = x: b, então

Os Elementos - Livro IX - 36 teoremas

O livro final sobre a teoria dos números, Livro IX, contém resultados da teoria dos números de tipo mais familiares.

IX-20. Os números primos são mais do que qualquer multidão de números primos atribuídos.

Prova. Deixe ser todos os primos. Defina +1. Então, como N deve ser composto, um dos primos, digamos. Mas isso é um absurdo!

Os Elementos - Livro IX - 36 teoremas

IX-35. Se tantos números quantos quisermos estão em proporção contínua, e subtrai-se do segundo e dos últimos números iguais ao primeiro, então, como o excesso do segundo está para o primeiro, o excesso do último será para todos aqueles antes disso.

Estamos dizendo que sejam os números, as diferenças são a (r -1) e. Então, o teorema afirma que

Os Elementos - Livro X - 115 teoremas

Muitos historiadores consideram este o mais importante dos livros. É o mais longo e provavelmente o mais organizado. O objetivo é a classificação dos incomensuráveis. A primeira proposição é fundamental. É o método de exaustão de Eudoxus.

XI. Duas magnitudes desiguais sendo dadas, se da maior for subtraída uma magnitude maior que sua metade, e daquela que for deixada uma magnitude maior que sua metade, e se este processo for repetido continuamente, sobrará alguma magnitude menor que a menor das magnitudes dadas.

Essa proposição permite um processo de aproximação de comprimento arbitrário.

X-36. Se duas linhas retas racionais comensuráveis ​​no quadrado apenas forem somadas, o todo será irracional.

Os elementos - Livro X1-XIII

Os três capítulos finais de Os Elementos são sobre geometria sólida e o uso de um processo de limitação na resolução de problemas de área e volume. Por exemplo,

XII-2. Os círculos são uns para os outros como os quadrados nos diâmetros.

Você notará que não existe uma `` fórmula & quot expressa.

XII-7. Uma pirâmide é uma terceira parte do prisma que tem a mesma base e a mesma altura.


Fragmento dos Elementos de Euclides - História

O dodecaedro e o icosaedro são os mais exóticos dos sólidos platônicos, pois apresentam simetria rotacional quíntupla - possibilidade que só existe para politopos regulares de 2, 3 ou 4 dimensões. O dodecaedro e o icosaedro têm o mesmo grupo de simetria, porque são duais Poincar & eacute: os vértices de um correspondem às faces do outro. Mas o icosaedro provavelmente foi descoberto mais tarde. Como Benno Artmann escreveu:

O conhecimento original do dodecaedro pode ter vindo de cristais de pirita, mas, em contraste, o icosaedro é uma criação matemática pura. É a primeira realização de uma entidade que existia antes apenas no pensamento abstrato. (Bem, além das estátuas de deuses!)

Não tenho certeza se é realmente algo próximo à primeira & quot realização de uma entidade que existia antes apenas em pensamento abstrato & quot. Mas pode ter sido o primeiro objeto "excepcional" na matemática - falando grosso modo, uma entidade que não se encaixa em nenhum padrão fácil, que é descoberta como parte da prova de um teorema de classificação!

Outros objetos excepcionais incluem o grupo de Lie simples E8, e o grupo simples finito M12. Curiosamente, muitos desses objetos excepcionais & quot estão relacionados. Por exemplo, o icosaedro pode ser usado para construir tanto E8 e M12. Mas o primeiro teorema de classificação interessante foi a classificação de poliedros regulares: poliedros convexos com polígonos equiláteros como faces e o mesmo número de faces que se encontram em cada vértice. Este teorema aparece quase no final do último livro dos Elementos de Euclides - Livro XIII. Mostra que as únicas possibilidades são os sólidos platônicos: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. E de acordo com a sabedoria tradicional, os resultados neste livro foram provados por Teateto, que também descobriu o icosaedro!

Na verdade, Artmann cita uma & quotan nota antiga escrita nas margens do manuscrito & quot do Livro XIII, que diz:

Você pode conhecer Teeteto através do diálogo de Platão com o mesmo nome, onde ele é descrito como um gênio matemático. Ele também é mencionado no diálogo de Platão chamado o sofista. Na República, escrita por volta de 380 aC, Platão reclamou que não se sabe o suficiente sobre a geometria sólida:

Teeteto parece ter preenchido a lacuna: ele trabalhou com geometria sólida entre 380 e 370 aC, talvez inspirado pelo interesse de Platão pelo assunto. Ele morreu de ferimentos de batalha e disenteria em 369, depois que Atenas travou uma batalha com Corinto.

Mas como temos certeza de que Teateto descobriu - ou pelo menos estudou - o icosaedro? A única evidência concreta parece ser esta "nota de quociente" nas margens dos Elementos. Mas quem o escreveu e quando?

Em primeiro lugar, se você espera ver um manuscrito antigo de Euclides com uma nota rabiscada na margem, prepare-se para ficar desapontado! Tudo o que temos são cópias de cópias de cópias. Os fragmentos mais antigos remanescentes dos Elementos datam de séculos após a morte de Euclides: alguns de uma biblioteca em Herculano torrada pela erupção do Monte Vesúvio em 79 DC, um casal da região de Fayum, perto do Nilo, e alguns de um depósito de lixo no Egito cidade de Oxyrhynchus.

Existem várias linhas de cópias dos Elementos de Euclides. Compará-los para adivinhar o conteúdo do original Elementos é uma tarefa difícil e fascinante. Infelizmente, no século IV DC, o matemático grego Theon de Alexandria - o pai de Hipácia - fez uma cópia que se tornou extremamente popular. Tão popular, na verdade, que por muitos séculos os estudiosos europeus não conheceram nenhuma linha de cópias que não tivesse passado por Theon! E Theon não era um copista fiel: ele acrescentou proposições extras, alongou algumas provas e omitiu algumas coisas também. Parece que ele queria padronizar a linguagem e torná-la mais fácil de seguir. Isso pode ter ajudado as pessoas que tentavam aprender geometria - mas certamente não os estudiosos que tentavam entender Euclides.

Em 1808, François Peyrard fez uma descoberta maravilhosa. Ele descobriu que a biblioteca do Vaticano tinha uma cópia dos Elementos de Euclides que não havia chegado até Theon!

Esta cópia agora é chamada de & quotP & quot. Remonta a cerca de 850 DC. Eu adoraria saber como Peyrard pôs as mãos nele. Pode-se imaginá-lo fuçando em um porão empoeirado e abrindo um baú. mas parece que Napoleão de alguma forma levou este manuscrito do Vaticano para Paris.

Na década de 1880, o grande estudioso dinamarquês Johan Heiberg usou & quotP & quot juntamente com várias cópias & quotTheonine & quot dos Elementos para preparar o que ainda é considerado a edição grega definitiva deste livro. A importantíssima tradução para o inglês de Thomas Heath é baseada nisso. Pelo que eu posso dizer, "P" é a única cópia não-teonina conhecida de Euclides, exceto pelos fragmentos que mencionei. Heath também usou esses fragmentos para preparar sua tradução.

Esta é apenas uma visão geral rápida de uma complicada história de detetive. Como sempre, a textura fractal da história revela mais complexidade quanto mais você olha.

De qualquer forma, Heath pensa que Gêmeos de Rodes escreveu a & quotaciente nota & quot nos Elementos creditando a Theatetus. Não sei por que Heath pensa isso, mas Gêmeos de Rodes foi um astrônomo e matemático grego que trabalhou durante o século 1 aC.

Em seu charmoso artigo & quotA descoberta dos sólidos regulares & quot, William Waterhouse escreve:

Era uma vez nenhum problema na história dos sólidos regulares. De acordo com Proclus, as descobertas de Pitágoras incluem & quotthe a construção dos sólidos cósmicos & quot, e os primeiros historiadores só podiam presumir que o assunto brotou adulto de sua cabeça. Mas um quadro melhor desenvolvido do crescimento da geometria grega fez com que uma data tão antiga parecesse questionável, e foram descobertas evidências sugerindo uma atribuição diferente. Um estudo completo do testemunho foi feito por E. Sachs, e sua conclusão agora é geralmente aceita: a atribuição a Pitágoras é um mal-entendido e / ou invenção posterior.

A história dos sólidos regulares, portanto, repousa quase inteiramente em um scholium para Euclides que se lê da seguinte forma:

& quotNeste livro, o 13º, são construídas as 5 figuras ditas platônicas, que no entanto não pertencem a Platão. Três dessas 5 figuras, o cubo, a pirâmide e o dodecaedro, pertencem aos Pitagóricos, enquanto o octaedro e o icosaedro pertencem a Teeteto. & Quot.

Teeteto viveu c. 415-369 a.C., portanto, esta versão fornece uma data moderadamente tardia e tem a vantagem considerável de parecer improvável. Ou seja, os detalhes do scholium não são o tipo de história que se conjecturasse ingenuamente e, portanto, provavelmente não é uma das histórias inventadas no final da Antiguidade. Como diz van der Waerden, o scholium é agora amplamente aceito "precisamente porque [ele] contradiz diretamente a tradição que costumava atribuir a Pitágoras qualquer coisa que surgisse".

Mas os argumentos de probabilidade podem servir para os dois lados, e os estudiosos que hesitam em aceitar o scholium o fazem principalmente porque parece muito improvável. Houve dois pontos principais de impasse: primeiro, a precocidade do dodecaedro em comparação com o icosaedro e, segundo, o surpreendente atraso do octaedro. A primeira objeção, entretanto, foi bem descartada. O mineral pirita (FeS2) cristaliza mais frequentemente em cubos e o dodecaedro quase regular é bastante difundido, sendo o sulfureto mais comum, e cristais pendentes são encontrados em vários locais na Itália. Além disso, ocorre regularmente misturado com os minérios de sulfeto e subjacentes aos minérios oxidados de cobre, esses depósitos têm sido trabalhados desde a mais remota antiguidade. Assim, os dodecaedros naturais eram conspícuos e, de fato, atraíam a atenção: dodecaedros artificiais foram encontrados na Itália antes de 500 aC. Os cristais icosaédricos, em contraste, são muito menos comuns. Hence there is no real difficulty in supposing that early Pythagorean geometers in Italy were familiar with dodecahedra but had not yet thought of the icosahedron.

Indeed, while iron pyrite faz form "pseudoicosahedra":

I've never seen one, while the "pyritohedra" resembling regular dodecahedra are pretty common:

The puzzle of why the octahedron showed up so late seems to have this answer: it was known earlier, but it was no big deal until the concept of regular polyhedron was discovered! As Waterhouse says, the discovery of the octahedron would be like the discovery of the 4rd perfect number. Only the surrounding conceptual framework makes the discovery meaningful.

So far, so good. But maybe the Greeks were not the first to discover the icosahedron! In 2003, the mathematicians Michael Atiyah and Paul Sutcliffe wrote:

Various people including John McKay and myself spread this story without examining it very critically. I did read Dorothy Marshall's excellent paper "Carved stone balls", which catalogues 387 carved stone balls found in Scotland, dating from the Late Neolithic to Early Bronze Age. It has pictures showing a wide variety of interesting geometric patterns carved on them, and maps showing where people have found balls with various numbers of bumps on them. But it doesn't say anything about Platonic solids.

In March of 2009, Lieven le Bruyn posted a skeptical investigation of Atiyah and Sutcliffe's claim. For starters, he looked hard at the photo in their paper:

Who put on the ribbons? Lieven le Bruyn traced back the photo to Robert Lawlor's 1982 book Sacred Geometry. In this book, Lawlor wrote:

But is this really true? Le Bruyn discovered that the Ashmolean owns only 5 Scottish stone balls - and their webpage shows a photo of them, which looks quite different than the photo in Lawlor's book!

They have no ribbons on them. More importantly, they're different shapes! The Ashmolean lists their 5 balls as having 7, 6, 6, 4 and 14 knobs, respectively - nothing like an icosahedron.

And here is where I did a little research of my own. The library at UC Riverside has a copy of Keith Critchlow's 1979 book Time Stands Still. In this book, we see the same photo of stones with ribbons that appears in Lawlor's book - the photo that Atiyah and Suttcliffe use. In Critchlow's book, these stones are called "a full set of Neolithic 'Platonic solids'". He says they were photographed by one Graham Challifour - but he gives no information as to where they came from!

And Critchlow explicitly denies that the Ashmolean has an icosahedral stone! He writes:

It seems the myth of Scottish balls shaped like Platonic solids gradually grew with each telling. Could there be any truth to it? Dorothy Marshall records Scottish stone balls with various numbers of knobs, from 3 to 135 - but just two with 20, one at the National Museum in Edinburgh, and one at the Kelvingrove Art Gallery and Museum in Glasgow. Do these look like icosahedra? I'd like to know. But even if they do, should we credit Scots with "discovering the icosahedron"? Perhaps not.

So, it seems the ball is in Theaetetus' court.

The quote from Benno Artmann appeared in a copy of the AMS Bulletin where the cover illustrates a construction of the icosahedron:

5) Benno Artmann, About the cover: the mathematical conquest of the third dimension, Bulletin of the AMS, 43 (2006), 231-235. Also available at http://www.ams.org/bull/2006-43-02/S0273-0979-06-01111-6/

For more, try this wonderfully entertaining book:

6) Benno Artmann, Euclid - The Creation of Mathematics, Springer, New York, 2nd ed., 2001. (The material on the icosahedron is not in the first edition.)

It's not a scholarly tome: instead, it's a fun and intelligent introduction to Euclid's Elements with lots of interesting digressions. A great book for anyone interested in math!

I should also get ahold of this someday:

7) Benno Artmann, Antike Darstellungen des Ikosaeders, Mitt. DMV 13 (2005), 45-50.

Heath's translation of and commentary on Euclid's Elements is available online thanks to the Perseus Project. The scholium crediting Theatetus for the octahedron and icosahedron is discussed here:

while the textual history of the Elements is discussed here:

9) Euclid, Elements, trans. Thomas L. Heath, Chapter 5: The Text, p. 46. Also available at http://old.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+5

Anyone interested in Greek mathematics also needs these books by Heath, now available cheap from Dover:

10) Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics. Vol. 1: From Thales to Euclid. Vol. 2: From Aristarchus to Diophantus. Dover Publications, 1981.

The long quote by Waterhouse comes from here:

11) William C. Waterhouse, The discovery of the regular solids, Arch. Hist. Exact Sci. 9 (1972-1973), 212-221.

I haven't yet gotten my hold on this "thorough study" mentioned by Waterhouse - but I will soon:

12) Eva Sachs, Die funf platonischen Koerper, zur Geschichte der Mathematik und der Elementenlehre Platons und der Pythagoreer, Berlin, Weidmann, 1917.

I also want to find this discussion of how Peyrard got ahold of the non-Theonine copy of Euclid's Elements:

13) N. M. Swerlow, The Recovery of the exact sciences of antiquity: mathematics, astronomy, geography, in Rome Reborn: The Vatican Library and Renaissance Culture, ed. Grafton, 1993.

Here is Atiyah and Sutcliffe's paper claiming that the Ashmolean has Scottish stone balls shaped like Platonic solids:

14) Michael Atiyah and Paul Sutcliffe, Polyhedra in physics, chemistry and geometry, available as arXiv:math-ph/0303071.

Here is le Bruyn's critical examination of that claim:

Here are the books by Critchlow and Lawlor -speculative books from the "sacred geometry" tradition:

16) Keith Critchlow, Time Stands Still, Gordon Fraser, London, 1979.

17) Robert Lawlor, Sacred Geometry: Philosophy and Practice, Thames and Hudson, London, 1982. Available at http://www.scribd.com/doc/13155707/robert-lawlor-sacred-geometry-philosophy-and-practice-1982

Here's the Ashmolean website:

18) British Archaeology at the Ashmolean Museum, Highlights of the British collections: stone balls, http://ashweb2.ashmus.ox.ac.uk/ash/britarch/highlights/stone-balls.html

and here's Dorothy Marshall's paper on stone balls:

In the process of researching my talk, I learned a lot about Euclid's Elements, where the construction of the icosahedron - supposedly due to Theaetetus - is described. This construction is Proposition XIII.16, in the final book of the Elements, which is largely about the Platonic solids. This book also has some fascinating results about the golden ratio and polygons with 5-fold symmetry!

The coolest one is Proposition XIII.10. It goes like this.

Take a circle and inscribe a regular pentagon, a regular hexagon, and a regular decagon. Take the edges of these shapes, and use them as the sides of a triangle. Then this is a right triangle!

is the side of the pentagon,

is the side of the hexagon, and

is the side of the decagon, then

We can prove this using algebra - but Euclid gave a much cooler proof, which actually find this right triangle hiding inside an icosahedron.

First let's give a completely uninspired algebraic proof.

Start with a unit circle. If we inscribe a regular hexagon in it, then obviously

So we just need to compute P and D. If we think of the unit circle as living in the complex plane, then the solutions of

are the corners of a regular pentagon. So let's solve this equation. We've got

0 = z 5 - 1 = (z - 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)

so ignoring the dull solution z = 1, we must solve

This says that the center of mass of the pentagon's corners lies right in the middle of the pentagon.

Now, quartic equations can always be solved using radicals, but it's a lot of work. Luckily, we can solve this one by repeatedly using the quadratic equation! And that's why the Greeks could construct the regular pentagon using a ruler and compass.

The trick is to rewrite our equation like this:

Now it's a quadratic equation in a new variable. So while I said this proof would be uninspired, it did require a tiny glimmer of inspiration. But that's all! Let's write

Solving this, we get two solutions. The one I like is the golden ratio:

This is another quadratic equation:

with two conjugate solutions, one being

I've sneakily chosen the solution that's my favorite 5th root of unity:

z = exp(2&pii/5) = cos(2&pi/5) + i sin(2&pi/5)

A fact we should have learned in high school, but probably never did.

Now we're ready to compute P, the length of the side of a pentagon inscribed in the unit circle:

Next let's compute D, the length of the side of a decagon inscribed in the unit circle! We can mimic the last stage of the above calculation, but with an angle half as big:

To go further, we can use a half-angle formula:

But we can simplify this a bit more. As any lover of the golden ratio should know,

OK. Your eyes have glazed over by now - unless you've secretly been waiting all along for This Week's Finds to cover high-school algebra and trigonometry. But we're done. We see that

That wasn't so bad, but imagine discovering it and proving it using axiomatic geometry back around 300 BC! Como eles fizeram isso?

20) Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1981.

This is reputed to be be the most thorough investigation of the logical structure of Euclid's Elements! And starting on page 257 he discusses how people could have discovered P 2 = H 2 + D 2 by staring at an icosahedron!

This should not be too surprising. After all, there are pentagons, hexagons and decagons visible in the icosahedron. But I was stuck until I cheated and read Mueller's explanation.

If you hold an icosahedron so that one vertex is on top and one is on bottom, you'll see that its vertices are arranged in 4 horizontal layers. From top to bottom, these are:

  • 1 vertex on top
  • 5 vertices forming a pentagon: the "upper pentagon"
  • 5 vertices forming a pentagon: the "lower pentagon"
  • 1 vertex on bottom

Pick a vertex from the upper pentagon: call this A. Pick a vertex as close as possible from the lower pentagon: call this B. A is not directly above B. Drop a vertical line down from A until it hits the horizontal plane on which B lies. Call the resulting point C.

If you think about this, or better yet draw it, you'll see that ABC is a right triangle. And if we apply the Pythagorean theorem to this triangle we'll get the equation

To see this, we only need to check that:

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

Different circles, but of the same radius! What's this radius? Take all 5 vertices of the "upper pentagon". These lie on a circle, and this circle has the right radius.

Using this idea, it's easy to see that the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle. It's also easy to see that BC equals the edge of a decagon inscribed in a circle of the same radius. The hard part, at least for me, is seeing that AC equals the edge of a hexagon inscribed in a circle of the same radius. or in other words, the radius of that circle! (The hexagon seems to be a red herring.)

To prove this, we need a wonderful fact: the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

I just found a very beautiful proof. I could explain it easily with lots of pictures, but I'm too lazy to draw them electronically. I don't feel too guilty about this, though: I've given enough clues for you to figure everything out and draw the pictures yourself. It's lots of fun. And if you draw nice electronic pictures, I'd love to include them here and credit you!

Okay, okay. I'll give you one more hint. Consider the "top" vertex of the icosahedron and the 5 vertices forming the "upper pentagon". Deixar UMA be any vertex on the upper pentagon, and let B be the top vertex. Drop a vertical line from the top vertex until it hits the plane of the upper pentagon call the point where it hits C. Prove that the triangle abc is congruent to the right triangle ABC. And using this, show the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

I thank Toby Bartels for help with some of this stuff.

Termo aditivo: Kevin Buzzard explained some of the Galois theory behind why the pentagon can be constructed with ruler and compass - or in other words, why the quartic

can be solved by solving first one quadratic and then another.

("this one" being z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.)

. e isso é because the Galois group of that específico irreducible polynomial is "only" cyclic of order 4. The splitting field is Q(&zeta5), which is a cyclotomic field, so has Galois group (Z/5Z)*. No Z/3Z factors so no messing around with cube roots, for example.

With this observation above, I'm trying to convince you that the proof really é completely uninspired To solve the quartic by solving two quadratics, you need to locate the degree 2 subfield of Q(z) (z=&zeta5) and aim towards it (because it's your route to the solution). This subfield is clearly the real numbers in Q(z), and the real numbers in Q(z) contains z+z*=z+z -1 . So that's sort of a completely conceptual explanation of why the trick works and why it's crucial to introduce z+z -1 .


Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus

This papyrus fragment is one of the the oldest, if not the oldest, existing text from Euclid&rsquos Elements. Euclid compiled and wrote his Elements in Alexandria, Egypt, in about 300 BCE, in Greek. The fragment, also written in Greek, was found in Egypt in 1897 and has been dated to the end of the first century CE. It is called the Oxyrhynchus papyrus, named after the place in Egypt where it was found. Archeologists B. P. Grenfell and A. S. Hunt uncovered an ancient rubbish dump from which they excavated many valuable finds, among which was this fragment. The text and diagram are from Euclid&rsquos Elements, Book II, Proposition 5, which states:

If a straight line is cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole, together with the square on the straight line between the points of the section, is equal to the square on the half.

The image was made by William Casselman, University of British Columbia, from the papyrus collection at the University of Pennsylvania and is used with his permission. For additional information about the papyrus, see Casselman's webpage about it, titled "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid."

Frank J. Swetz (The Pennsylvania State University), "Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus," Convergência (August 2013)


The books

Elements consists of 13 books, the first 6 refer to basic plane geometry. From the seventh to the tenth deals with all numerical issues Prime, radical, and divisibility numbers. The last 3 books cover topics on geometry of solids, polyhedra and circumstantial spheres. To consult the published books, you can follow the following link.

  • Book I
  • Book II
  • Book III
  • Book IV
  • Book V
  • Book VI
  • Book VII
  • Book VIII
  • Book IX
  • Book X
  • Book XI
  • Book XII
  • Book XIII

Book XII and Book XIII are complete and available in Spanish-Catalan, comparable to Heath’s text. With a multitude of pending corrections, we hope the start of the new phase that begins the project.


The Reader Intervention

o Elements, which contains 13 volumes, has appeared in at least hundreds of editions, and until the last century it was the second-best-selling book in the world. (The Bible was first.) But not everything in the Elements came from Euclid. The volumes represent a collection of mathematics knowledge known to the Greeks at the time. Physicist Stephen Hawking described Euclid as “the greatest mathematical encyclopedist of all time,” likening him to Noah Webster, who assembled the first English language dictionary (2).

o Elements was translated from Greek, Arabic, Latin, Hebrew, and other languages. The treatise evolved as it grew and migrated—and so did the diagrams. Readers made notes in the margins and inserted changes. Later readers and translators saw both the manuscript and the additions and made revisions that seemed appropriate for their time. Those interactions are captured in transcriptions of the proofs and diagrams in the Elements, and the act of copying became an act of transformation, says Eunsoo Lee, a PhD student at Stanford University studying the evolution of diagrams over time in the Elements.

“We may easily forget about the role of readers in the making of diagrams,” says Lee, noting that they could intervene or intermingle by marking on the manuscript. Later, scribes took those notes into consideration. “If they determined that the marginal diagrams [were] superior to the main diagrams,” explains Lee, “the marginal diagrams were adopted as the main diagrams for later generations.” These visual changes conveyed mathematical ideas in ways that couldn't be transmitted through text.

It’s too simplistic to call these changes errors. Some of the changes may have been intended as improvements others arose from cultural practices. Arabic reads right-to-left, for example, so in early Arabic versions of the Elements the orientations of its diagrams were often flipped—angles that opened to the left in ancient Greek manuscripts opened to the right in the Arabic versions. However, when those Arabic versions were translated into Latin, some scribes didn’t flip the diagrams back.

Mathematician Robin Hartshorne, retired from the University of California, Berkeley, further argues that it’s not necessarily fair to see changing the diagrams as a corrective process. Even with curves and erasures, those pentadecagon diagrams got the point across. Printing the Elements with accurate diagrams reflects the values of a time, he says, but it's a practice disloyal to earlier versions. “I would call it redrawing the diagram to the taste of modern mathematicians who like to see metrical exactness,” says Hartshorne.

“These are hand-drawn diagrams of things that are not necessarily easy to represent,” adds science historian Courtney Roby, who studies ancient scientific texts at Cornell University, in Ithaca, New York. “Diagrams are the creations of individual authors and scribes, and their creativity and experimentation and change.”


The History of Physics #1 – Introduction

With its form and content, physics has started in a way with Galileo Galilei (1564-1642) and Sir Isaac Newton’s (1642-1727) works.

Newton’s “Philosophiae Naturalis Principa Mathematica” or just “Principia” published in 1686 has 3 books and is one of the most important sources for modern science.

This title describes this branch of science named physics in a really nice way. Physics are based on movement at the most basic level.

Movement is the way things change their places in space and time. The terms space and time are more than what a normal human brain can process make the word “Movement” harder to understand.

2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library.

Another thing that makes movement hard to understand is that movement is relative to the observer and never the same to two or more places or observers. Movement changes accordingly to the place the observer observes.

These differences in observations gave scientists the suspicion of the way something moves to be able to change according to the observation system.

Even though Newton’s “Principia” has the mathematical basis of classical physics, the base terms of physics have been put forth by Galileo.

Because of that, it would be more appropriate if we thought of physics as before and after Galileo. The “before Galileo” era of physics had far less information for understanding the world around us.

To interpret the ideas and experiences of that era with our advanced knowledge would be extremely meaningless, but Ancient Greek philosophers’ thoughts and ways of thinking have built up the base knowledge of both classical (1600-1900) and modern (1900-today) physics.

The most important thing that made physics go forth in the ancient era is most probably Eukleides (325-265 B.C.) redefining geometry and putting it into a systematic order.

One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Elements, found at Oxyrhynchus and dated to circa AD 100 (P. Oxy. 29). The diagram accompanies Book II, Proposition 5

Eukleides’ book named “Stoikhea” consists of 13 installments and it’s the first systematic debate about geometry. Some of the axioms’ debates in this book were relevant until the end of 19. Century. Then they realized the flaws and perfected them.

  1. Cover image: Various examples of physical phenomena collage by Daniele Pugliesi (Public Domain)
  2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library. (CC BY-SA 4.0)
  3. One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Elementshttp://www.math.ubc.ca/

Tunçer Efe Kıray

I'm Efe, 16. I'm studying at the Istanbul High School , one of the most prestigious high schools in Turkey. I have been a professional chess player for 9 years. I want to study Physics at the university.


Assista o vídeo: Los elementos de Euclides